In un litro d’acqua 240.000 frammenti di plastica

Data una bottiglia di qualsiasi forma, come si fa a sapere quando è piena a metà senza usare nessuno strumento di misura?

1. Il problema

Immaginate di avere una bottiglia a forma di mezzaluna con bocca, naso e occhi, quasi piena di sciroppo gusto blu tropicale.
Ogni tanto prelevate un po’ di liquido per preparare una bevanda.
Come potreste fare per sapere quando la bottiglia è piena a metà, con una buona approssimazione?
Potete usare solo un pennarello e fare al massimo tre segni sulla bottiglia. Uno dei tre segni deve indicare il livello che divide la bottiglia in due parti di uguale capacità.
Non dovete usare nessuno strumento di misura, come per esempio un righello, una bilancia, un bicchiere graduato, e così via.

Avevo proposto questo quesito nell’articolo La metà del cono ma non avevo risposto. Proviamo a rispondere qui, con l’aggiunta di due piccole curiosità e pure un teorema di Matematica!

2. La forma della bottiglia non aiuta

Se la bottiglia avesse la forma di un parallelepipedo o di un cilindro, sarebbe abbastanza facile valutare la sua metà.
Per esempio un parallelepipedo è diviso a metà da un piano che passa per due spigoli opposti, come si vede nella figura.
Analogamente, un cilindro è diviso a metà da un piano che tocca le sue basi come mostrato nella figura.

La nostra bottiglia però ha una forma irregolare e non ci sono simmetrie (davvero?) che possono aiutare a trovare la sua metà.
Allora, come possiamo fare?

3. Una possibile soluzione

Partiamo dal seguente ragionamento: se capovolgiamo una bottiglia piena esattamente a metà, allora il livello dell’acqua nelle due posizioni si stabilizza su un’unica sezione della bottiglia.

Se invece capovolgiamo una bottiglia piena non esattamente a metà, allora il livello dell’acqua nelle due posizioni si stabilizza su due sezioni distinte della bottiglia.
Quindi, per scoprire dove si trova la metà della nostra bottiglia potremmo fare così.

Aspettiamo che il liquido sia un po’ più (o meno) di metà, valutando a occhio.
Segniamo con il pennarello il livello del liquido (segno 1).
Capovolgiamo la bottiglia e segniamo nuovamente il livello (segno 2). I due segni dovrebbero essere distinti ma abbastanza vicini fra loro.
La metà della bottiglia è tra questi due segni. Tracciamo il terzo segno più o meno a metà tra i due segni (segno 3).
Questo terzo segno indica con buona approssimazione la metà della bottiglia.

4. Due piccole curiosità

Cercare una simmetria
Abbiamo detto che la nostra bottiglia non ha piani di simmetria ma osserviamola meglio, sotto diversi punti di vista.Guardandola “di fronte” notiamo che c’è una simmetria, messa in evidenza dalla linea di giunzione lasciata dalle due metà dello stampo in cui la bottiglia prende forma.Questa linea potrebbe aiutarci a capire se la bottiglia è piena a metà.Basta infatti mettere la bottiglia orizzontalmente e verificare che la superficie del liquido si disponga lungo la linea di giunzione, come illustrato nelle figure seguenti.

Recipienti-misura
Se osserviamo il bordo alla base (oppure il fondo) di certe bottiglie potremmo notare delle scritte in rilievo come questa:50 cl  Э  60 mmSignifica che la bottiglia contiene esattamente 50 ml quando è riempita fino a 56 mm dall’imboccatura. Il simbolo “Э” è una epsilon rovesciata (backepsilon) che identifica i recipienti-misura.L’uso commerciale dei recipienti-misura è regolamentato dalla Legge 614/1976 e dai Decreti Ministeriali 5 agosto 1976 e 13 marzo 1979.

5. Fisica versus matematica con un pizzico di arte

Data una bottiglia di qualunque forma, esiste sempre un livello dell’acqua che divide il suo volume a metà?

La risposta è: precisiamo la domanda.

Esiste sempre un piano che divide la forma della bottiglia in due parti equivalenti, cioè che hanno lo stesso volume. Anzi, di questi piani ce ne sono infiniti.
Se però la bottiglia ha una forma “stranissima” allora il metodo di capovolgerla potrebbe non funzionare perché il liquido potrebbe disporsi su più livelli distinti.Osservate l’esempio in figura.

Questa bottiglia ha delle concavità molto pronunciate, una imboccatura e ben quattro fondi.
Versandovi del liquido o capovolgendola, non sempre la superficie del liquido si dispone su uno stesso piano.
Ma… esistono in commercio bottiglie come questa?
A quanto pare esistono e sono considerate opere di design artistico. Per esempio, molto noti sono i decanter ramificati di Etienne Meneau.

6. Provate a dimostrare un teorema?

Provate a dare una dimostrazione intuitiva del seguente teorema:

Teorema 1. Dato un qualunque solido e un qualunque piano α, esiste un piano β parallelo al piano α che divide il solido in due parti equivalenti (cioè che hanno lo stesso volume).

Potete partire dal caso più semplice a due dimensioni:

Teorema 2. Data una qualunque figura piana e una qualunque retta r, esiste una retta parallela alla retta r che divide la figura in due parti equivalenti (cioè che hanno la stessa area).

Secondo me, sono lemmi del cosiddetto Ham Sandwich Theorem (Teorema del panino al prosciutto).

Teorema del panino al prosciutto. I volumi di n solidi a n dimensioni si possono sempre bisecare con un iperpiano a n-1 dimensioni.

Per esempio, è sempre possibile tagliare, con un unico taglio di coltello, un panino al prosciutto in modo che le due parti abbiano esattamente le stesse quantità di pane e prosciutto.
Però non è facile.

Nota. Questo articolo si trova anche sul sito BASE Cinque, di pubblico dominio.

Foto e disegni: Gianfranco Bo
Foto cover: OlegMbIP / Shutterstock